SD数学 : 偏微分
はじめに
数学の偏微分をSubstanceDesignerで実装してみました。
1. テクスチャカラーをXで偏微分
座標$ (x, y) のテクスチャカラーを$ F(x, y) とします。
https://gyazo.com/493405bcd7a329d96eaf69f3d6faba66
■テクスチャカラーのxの偏微分
テクスチャカラーのxの偏微分は以下のように書くことができます。
$ \frac{\partial F(x, y)}{\partial x}
偏微分は、極限を使って以下のように表すことができます。
$ \frac{\partial F(x, y)}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rarr +0} \frac{F(x, y) - F(x - \Delta x, y)}{\Delta x}
■偏微分の近似計算
SubstanceDesigner上では無限小の $ \Delta x を使うことができないので、小さい数値で代用することにします。
以下を計算することでテクスチャカラーのxの偏微分の近似値を求めることができます。
$ \frac{F(x, y) - F(x - \Delta x, y)}{\Delta x}
$ F(x, y) : 座標(x, y)のピクセルのテクスチャカラー
$ F(x - \Delta x, y) : 座標(x, y)の左側ピクセルのテクスチャカラー
$ \Delta x : 小さい数値
■実装(Substance Designer)
`https://gyazo.com/7b051599c572dccbd23a0add64e2460a
2. テクスチャカラーをYで偏微分
https://gyazo.com/493405bcd7a329d96eaf69f3d6faba66
■テクスチャカラーのyの偏微分
テクスチャカラーのyの偏微分は、極限を使って以下のように表すことができます。
$ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y} = \lim_{\Delta y \rarr +0} \frac{F(x, y) - F(x, y - \Delta y)}{\Delta y}
偏微分の近似計算
SubstanceDesigner上では無限小の $ \Delta y を使うことができないので、小さい数値で代用することにします。
以下を計算することでテクスチャカラーのxの偏微分の近似値を求めることができます。
$ \frac{F(x, y) - F(x, y - \Delta y)}{\Delta y}
$ F(x, y) : 座標(x, y)のピクセルのテクスチャカラー
$ F(x, y - \Delta y) : 座標(x, y)の下側ピクセルのテクスチャカラー
$ \Delta y : 小さい数値
■実装(Substance Designer)
https://gyazo.com/15332b23a2e91199991d25ef64d779f2